位相空間論におけるUrysohnの補題とTietzeの拡張定理、およびその圏論的性質

ステップ1: 二進有理数による開集合の族の構成

$X$ が正規空間 (normal space) であるため、「閉集合 $F$ が開集合 $V$ に含まれるとき、閉包が開集合に包まれるような開集合 $U$ をその間に挟める（$F \subset U \subset \overline{U} \subset V$）」という性質が成り立ちます。

区間 $[0,1]$ 内の二進有理数の集合を $D = \{ k/2^n \mid n \ge 0, 0 \le k \le 2^n \}$ とします。各 $r \in D$ に対して、条件「$p < q \implies \overline{U_p} \subset U_q$」を満たす開集合 $U_r$ を帰納的に構成します。

• 初期設定: $U_1 = X \setminus B$ とします。$A \cap B = \emptyset$ より $A \subset U_1$ です。正規性より、$A \subset U_0 \subset \overline{U_0} \subset U_1$ となる開集合 $U_0$ を取ります。
• 帰納的構成: ある $n$ について分母が $2^n$ の有理数に対して $U_r$ が構成されたとします。次に分母が $2^{n+1}$ の奇数分子の有理数 $r = (2m+1)/2^{n+1}$ を考えます。その両隣である $p = 2m/2^{n+1}$ と $q = (2m+2)/2^{n+1}$ は分母が $2^n$ の有理数（約分可能）なので、既に $U_p, U_q$ が構成されており $\overline{U_p} \subset U_q$ を満たします。正規性を用いて、$\overline{U_p} \subset U_r \subset \overline{U_r} \subset U_q$ となる開集合 $U_r$ を定めます。

これを繰り返すことで、すべての $r \in D$ について $U_r$ が構成されます。便宜上、$r < 0$ のときは $U_r = \emptyset$、$r > 1$ のときは $U_r = X$ と定義します。

ステップ2: 連続関数の定義

関数 $f: X \to [0, 1]$ を次のように定義します：
$$f(x) = \inf \{ r \in \mathbb{Q} \mid x \in U_r \}$$

$x \in A$ のとき、すべての $r \ge 0$ で $x \in U_r$ なので $f(x) = 0$ です。また $x \in B$ のとき、$r \le 1$ について $x \notin U_r$ （$U_1 = X \setminus B$ ゆえ）なので、$f(x) = 1$ となります。

この $f$ が連続写像 (continuous map) であることを示します。任意の実数 $a$ に対して、逆像 $f^{-1}([0, a))$ と $f^{-1}((a, 1])$ が開集合であることを示せば十分です。

• $f(x) < a \iff$ ある $r < a$ で $x \in U_r$。よって $f^{-1}([0, a)) = \bigcup_{r < a} U_r$ となり開集合。
• $f(x) > a \iff$ ある $r > a$ で $x \notin \overline{U_r}$。よって $f^{-1}((a, 1]) = \bigcup_{r > a} (X \setminus \overline{U_r})$ となり、閉集合の補集合の和集合なので開集合。

以上より、$f$ は所望の性質を満たす連続関数です。

ステップ1: 近似関数の構成

$A$ 上の連続関数 $f: A \to [-1, 1]$ に対し、以下の閉集合を定義します。
$$A_1 = \left\{ x \in A \mathrel{\Big|} f(x) \le -\frac{1}{3} \right\}, \quad B_1 = \left\{ x \in A \mathrel{\Big|} f(x) \ge \frac{1}{3} \right\}$$
これらは $A$ の閉集合であり、$A$ が $X$ の閉集合であるため、$X$ の閉集合でもあります。また $A_1 \cap B_1 = \emptyset$ です。Urysohnの補題（値域をシフトしたもの）より、連続関数 $g_1: X \to \left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$ で、$A_1$ 上で $-\frac{1}{3}$、$B_1$ 上で $\frac{1}{3}$ を取るものが存在します。このとき $A$ 上で $|f(x) - g_1(x)| \le \frac{2}{3}$ となります。

ステップ2: 帰納的な関数の列の構成

$f_1 = f - g_1$ とおくと、$f_1: A \to \left[-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]$ です。同様の操作を繰り返すことで、連続関数の列 $g_n: X \to \mathbb{R}$ を得ます。これらは次を満たします。

• $|g_n(x)| \le \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \quad (x \in X)$
• $\left|f(x) - \sum_{i=1}^n g_i(x)\right| \le \left(\frac{2}{3}\right)^n \quad (x \in A)$

ステップ3: WeierstrassのM判定法による一様収束

級数 $F(x) = \sum_{n=1}^\infty g_n(x)$ を考えます。$|g_n(x)|$ は収束する等比級数 $\sum \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 1$ の各項で抑えられます。WeierstrassのM判定法より、この関数項級数は $X$ 上で一様収束し、$F$ は連続関数になります。また、$A$ 上では誤差が $0$ に収束するため $F(x) = f(x)$ となり、値域も $[-1, 1]$ に収まります。

$X, A \in \mathbf{CompHaus}$ とし、$m: A \to X$ を単射連続写像（モノ射）、$f: A \to [0,1]$ を連続写像とします。
コンパクト空間からのHausdorff空間への連続写像は閉写像 (closed map) となります。したがって、$m$ は単射かつ閉写像であるため、像 $m(A)$ は $X$ の閉集合であり、$m$ は閉埋め込み (closed embedding) となります。
コンパクト (compact) Hausdorff空間は常に正規空間 (normal space) です。したがって、$m(A)$ 上で定義された連続関数 $f \circ m^{-1}: m(A) \to [0,1]$ に対して Tietzeの拡張定理を適用すると、$X$ 全体に拡張する連続写像 $F: X \to [0,1]$ が存在し、$F \circ m = f$ を満たします。

任意の対象 $X \in \mathbf{CompHaus}$ を取ります。$X$ から $[0, 1]$ への連続関数全体の集合を $J = C(X, [0, 1])$ とします。単射的対象の直積も単射的対象となるため、Tychonoff立方体 $I = [0, 1]^J$ は単射的対象です。
評価写像 $e: X \to I$ を $e(x) = (f(x))_{f \in J}$ で定義します。各成分が連続であるため $e$ も連続です。$X$ は正規空間なので Urysohnの補題より異なる2点を分離する連続関数が取れるため、$e$ は単射です。前述の通りコンパクトからHausdorffへの単射は閉埋め込み (closed embedding) となるため、$e$ はモノ射 (monomorphism) です。よって証明されました。

第2可算公理より、可算な開基 (base) $\mathcal{B}$ が存在します。$\mathcal{B}$ の要素のペア $(U_n, V_n)$ で $\overline{U_n} \subset V_n$ を満たすものを可算個並べます。
空間は正規空間 (normal space) なので、Urysohnの補題を各ペアに適用し、$\overline{U_n}$ で $0$、$X \setminus V_n$ で $1$ を取る連続関数 $f_n: X \to [0, 1]$ を構成します。
これらを用いて、写像 $e: X \to [0, 1]^\mathbb{N}$ を $e(x) = (f_1(x), f_2(x), \dots)$ で定義します。この $e$ は、対象空間の正則性と可算開基の性質により、単射かつ開写像（相対位相として）になることが示され、$X$ は Hilbert立方体 $[0, 1]^\mathbb{N}$ の部分空間へ位相同型に埋め込まれます。
Hilbert立方体は距離化可能 (metrizable)（例えば距離 $d(x, y) = \sum |x_n - y_n| / 2^n$）であるため、その部分空間である $X$ も距離化可能となります。